Die Nullstellenberechnung

Methode 4: Die Substitution

Die Substitution

Die Substitution ist eine Nullstellenberechnungsmethode, die nicht so häufig auftaucht. Trotzdem wird sie von einigen Schülern gemocht, weil sie in Verbindung mit der PQ-Formel steht. Bei der Substitution werden Variablen auf eine bestimmte Art und Weise ersetzt. Dadurch soll die Funktion in eine quadratische Funktion umgeformt werden. Anschließend kann man, wie gewohnt, die PQ-Formel anwenden, um die Nullstellen zu berechnen. Zuletzt muss man noch die Rücksubstitution durchführen, um die Nullstellen der eigentlichen Funktion auszurechnen. Um diese Methode anwenden zu können, muss in der Funktion der größte Exponent doppelt so groß sein wie der kleinste Exponent.

Also muss die Funktion allgemein diese Form haben: f (x) = ax2n + bxn + c.

Die Beschreibung kann komplizierter erscheinen als sie tatsächlich ist. Gemeint ist Folgendes:

Angenommen folgende Funktion ist gegeben:

f (x) = 2 x4 -16 x2 +30

Der höchste Exponent ist in diesem Fall 4. Die vier ist doppelt so groß wie der kleinste Exponent 2.

Nun geht man folgender Weise vor.

Substitution: x2 = z, x4 = z2

f (z) = 2 z2 -16 z + 30

Jetzt geht man genauso vor wie bei der PQ-Formel

0 = 2 z2 -16 z + 30     I ÷ 2

0 = z2 -8 z +15

z1 = 5

z2 = 3

Rücksubstitution

x1,2 = ± √3

x3,4 = ± √5

Im folgenden Video werde ich einige Beispiele vorführen.

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