Die Nullstellenberechnung

Methode 3.1 : Die quadratische Ergänzung

Die quadratische Ergänzung

Neben der PQ-Formel kann man auch die quadratische Ergänzung benutzten. Im Gegensatz zur PQ-Formel wird diese Methode von vielen Schülerinnen und Schülern gemieden. Das ist auch kein Wunder, denn die quadratische Ergänzung ist keine Formel, die man einfach auswendig lernen kann. Sie ist ein Prozess, der mehr mathematisches Fachwissen abverlangt. Wenn Schüler diese Methode anwenden sollen, dann müssen sie sich mit den Grundlagen der binomischen Formeln auskennen. Da führt eigentlich kein Weg dran vorbei, obwohl ich tatsächlich einige Personen kenne, die auch diesen Prozess auswendig gelernt haben, ohne ihn zu verstehen. Diese Methode wird genau wie die PQ-Formel bei quadratischen Funktionen der Form: f(x) = ax2 + bx + c angewendet. Ebenfalls sollte die Funktion, nachdem man sie gleich Null gestellt hat, normiert werden.

Für mein Beispiel werde ich dieselbe Funktion aus meinem letzten Beitrag benutzen.

Ein Beispiel:

Gegeben: f (x) = -2 x2 – 10x – 48

→  0 = -2 x2 – 20x – 48                 I ÷ (-2)

↔ 0 = x2 +10 x +24

Bis hier ist die Methode komplett mit der Vorgehensweise bei Anwendung der PQ-Formel identisch.

↔ 0 =  x2 + 10x +24                        I – 24

↔ -24 = x2 +10x                              I quadratische Ergänzung

↔ -24 + 52 = x2 + 10x – 52             I Termvereinfachung

→ 1 = (x + 5)2                                  I √

→ ± 1 = x + 5                                   I – 5

→ -6 = x1 und -4 = x2

Nun wie man sehen kann, kommt man auch mit dieser Methode zum selben Ergebnis. Jedoch sieht man auch, dass etwas mehr Aufwand betrieben wurde. Ich empfehle meinen Schülern, auch diese Methode zu beherrschen, denn mit ihrer Hilfe werden immer wieder verschiedene Themen wiederholt und geübt.

Im folgenden Video werde ich einige Beispiele und besondere Fälle vorführen.

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